什么是"隔期"

中间隔了一期，问首尾两期的差。

2019 年 → 2020 年 → 2021 年
    ↑        ↑        ↑
   初期    中间期    末期

题干问"2021 年比 2019 年增加了多少"（不是"2021 年比 2020 年"），而且材料只给了每年的同比增长率 —— 这就是隔期题。

它和普通增长量题的唯一差别：基期不是现期的上一格，而是往前两格。

两步走，顺序不能换

核心思路一句话：

先把两期的增速复合成一个"总倍数"，再用它除出隔期基期，最后相减得增长量。

第一步：复合倍数

复合倍数 = (1 + r₁) × (1 + r₂)

r₁ = 2020 年比 2019 年的增速
r₂ = 2021 年比 2020 年的增速

第二步：算隔期基期

隔期基期 = 现期 ÷ 复合倍数

第三步：算增长量

隔期增长量 = 现期 − 隔期基期

⚠️ 顺序不能反过来。 常见错法是"先分别算出两期的增长量，再加起来" —— 这是错的，下面专门拆。

完整演一遍

某地某指标：
2020 年比 2019 年增长 10%
2021 年比 2020 年增长 20%
2021 年该指标 = 1320 万吨

问：2021 年比 2019 年增加了多少万吨？

第一步：复合倍数

1.10 × 1.20 = 1.32

第二步：隔期基期（2019 年）

1320 ÷ 1.32 = 1000 万吨

第三步：隔期增长量

1320 − 1000 = 320 万吨

验算（逐年展开）：

2019 年 = 1000
2020 年 = 1000 × 1.10 = 1100   ⇒ 当年增量 = 100
2021 年 = 1100 × 1.20 = 1320   ⇒ 当年增量 = 220

两个当年增量之和 = 100 + 220 = 320 ✓ —— 恰好等于隔期增长量。

⚠️ 这个"恰好相等"是数学上必然的（因为中间那一格被减掉了），但它不意味着你可以"分别算了再加" —— 因为材料通常不会给你中间那一格的值。这是本条最关键的认知：相等是结果的性质，不是算法。

算法为什么不能"分别算了再加"

因为材料给的是增速，不是中间那一期的绝对值。

错误做法：
  2021 年增量 = 1320 × 20% ÷ 1.20 = 220 ✓（这个能算）
  2020 年增量 = ? 
      需要 2020 年的值，而 2020 年的值要靠 2019 年才能算
      2019 年又不知道 —— 死循环

所以"分别算"这条路走不通。 正确路径只能是先复合。

⚠️ 有一种情况例外：如果材料直接给了中间那一期的增量，那当然可以直接相加。但材料一般不会给，因为它就是要考复合。

更常见的错法是这个：

错：隔期增长量 = 1320 × (10% + 20%) = 1320 × 30% = 396 万吨

两处错：一是增速不能相加（漏了 r₁ × r₂ = 2%），二是基数用错了（1320 是 2021 年的值，不是 2019 年的）。

必背公式表：隔期 6 条

#公式用途
①复合倍数 = (1+r₁)(1+r₂)第一步（跨三期就再乘）
②隔期基期 = 现期 ÷ 复合倍数第二步
③隔期增长量 = 现期 − 隔期基期第三步（定义式）
④隔期增长量 = 现期 × [1 − 1 ÷ 复合倍数]③ 的一步版
⑤隔期增长率 = 复合倍数 − 1 = r₁ + r₂ + r₁r₂区别：这是"率"
⑥隔期增长量 = 隔期基期 × 隔期增长率互验

⑤ 里的 r₁ + r₂ + r₁r₂ 是重点：

1.10 × 1.20 = 1.32
展开：1 + 0.10 + 0.20 + 0.10×0.20 = 1.32
⇒ 隔期增长率 = 10% + 20% + 2% = 32%

⚠️ 简单相加（10% + 20% = 30%）永远偏小，差的就是交互项 r₁r₂。增速越大，这一项越不能忽略（20% 与 20% 相乘就是 4 个百分点）。

④ 与 ③ 的换算（两条都常用，认得出就行）：

③：现期 − 现期 ÷ 复合倍数
④：现期 × (1 − 1 ÷ 复合倍数)

看清楚它们是同一个式子（提出公因子"现期"而已）—— 验算时别因为形式不同就以为算错了。

速算提示：1 ÷ (1+r₁)(1+r₂) 里的 1.1、1.2、1.25 一律化成 11/10、6/5、5/4 再约分，比小数连乘快也准。

另一个写法：一步到位

把三步合成一条式子：

隔期增长量 = 现期 − 现期 ÷ 复合倍数
           = 现期 × (1 − 1 ÷ 复合倍数)
本例：1320 × (1 − 1 ÷ 1.32) = 1320 × (1 − 0.7576) = 1320 × 0.2424 ≈ 320 万吨 ✓

这个写法的好处是"少算一次减法"，坏处是"多算一次除法"。 两种写法随便挑一个顺手的，但要知道它们等价 —— 否则验算时会以为自己算错了。

速算小技巧：1 ÷ 1.32 = 1 ÷ (1.1 × 1.2)，如果 1.1 和 1.2 都能化成简单分数（11/10、6/5），

1 ÷ 1.32 = 10/11 × 5/6 = 50/66 = 0.7576

用《特征数字法》把除法转成分数的乘法，是最快的路。

与"隔期增长率"的区别：一个是量，一个是率

这两个词只差一个字，问的是两件事。

问法求什么单位做法
2021 年比 2019 年增长多少隔期增长量万吨、亿元本篇
2021 年比 2019 年增长百分之几隔期增长率%增长率专题

而且两者的关系是：

隔期增长率 = 复合倍数 − 1 = r₁ + r₂ + r₁r₂

本例：1.10 × 1.20 − 1 = 0.32 = 32%
（等价于 10% + 20% + 10%×20% = 32%）

注意"隔期增长率"是 32%，而"隔期增长量"是 320 万吨 —— 两个 32 是巧合，别被它骗到。

隔期增长量 = 隔期基期 × 隔期增长率 = 1000 × 32% = 320 万吨 ✓

这条关系可以用来互验：算出增长量后，用基期 × 隔期增长率倒推一次。

三期以上：复合倍数接着乘

问"2023 年比 2020 年增加了多少"时，乘三次。

某地某指标：
2021 年比 2020 年增长 10%
2022 年比 2021 年增长 20%
2023 年比 2022 年增长 25%
2023 年 = 1650

复合倍数 = 1.10 × 1.20 × 1.25 = 1.65
2020 年 = 1650 ÷ 1.65 = 1000
隔期增长量 = 1650 − 1000 = 650

验算：

1000 →1100 →1320 →1650
增量：100 + 220 + 330 = 650 ✓

乘法链越长，越要用简单分数化简：1.1 × 1.2 × 1.25 = (11/10) × (6/5) × (5/4) = 66/40 = 1.65，乘的过程中直接约掉 5，比小数连乘快也准。

一个容易忽略的变形：求中间那一期

题干有时会反过来问："已知 2021 年和 2019 年的值，以及 2021 年比 2020 年的增速，求 2020 年的值"。

2019 年 = 1000，2021 年 = 1320，2021 年比 2020 年增长 20%
⇒ 2020 年 = 1320 ÷ 1.20 = 1100
⇒ 顺带得到 2020 年比 2019 年的增速 = (1100 − 1000) ÷ 1000 = 10%

这类题的关键是"先找最容易的那一步" —— 材料给了哪一期的增速，就从那一期入手反推。

⚠️ 不要一看到"隔期"就上复合。 复合是在只给增速、没给中间值时才必须用。

隔期与"两期分别算"的选择标准

材料给了什么，决定你走哪条路。

材料给的是走哪条路
只给两期增速 + 末期值先复合（本篇）
给了中间那一期的绝对值可以分别算两期增量再加（更直观）
给了两期增速 + 末期、中间两期的值随便，两条路都能走

⚠️ 第一条是主流 —— 因为材料通常只给增速，不给中间值。这就是为什么必须把复合练熟。

一个快速判别方法：

在草稿纸上写下：初期值 ? 中间值 ? 末期值 ?
哪个位置是"?"，就说明它在链的哪一头 ——
"?" 在初期 ⇒ 用除法（复合倍数除末期）
"?" 在中间 ⇒ 从给了增速的那一头反推
"?" 在末期 ⇒ 用乘法（复合倍数乘初期）

三步链条上只有三个位置，缺哪个推哪个。 这比死记公式灵活。

复合倍数的顺序问题

乘法满足交换律，所以 (1+r₁)(1+r₂) 与 (1+r₂)(1+r₁) 是同一个数。

但有两个前提不能弄错：

① r₁ 必须是"前一期比再前一期"的增速
   r₂ 必须是"末期比前一期"的增速
   ⇒ 也就是要按时间顺序对应，不能把年度配错
② 年份要对齐：2019→2020 配 2020→2021，不能配成 2019→2020 配 2021→2022

⚠️ 第二种错法不容易自查 —— 因为两个增速都能用，乘出来也是个合理的数。

防错动作：在草稿纸上把年份写出来，箭头标上增速：

2019 --(+10%)--> 2020 --(+20%)--> 2021

写下来就不会配错。 这一步只花三秒。

隔期题的两种数据给法

除了"只给增速"，材料还可能直接给"隔期增长率"，这时做法要换。

给法一：分别给两年的同比增速（本篇主流）
        ⇒ 先复合，再算量

给法二：直接给"2021 年比 2019 年增长 32%"
        ⇒ 不用复合，直接当"基期量计算"做
           2021 年 = 1320，隔期增速 = 32%
           ⇒ 2019 年 = 1320 ÷ 1.32 = 1000 ✓（结果一致）

两种给法算出来是同一个数（因为 1.10 × 1.20 = 1.32）—— 但走的路不同。

⚠️ 判断走哪条路只需要看一句话：材料给的是"两年的分项增速"还是"一个整体的隔期增速"。

一个反向应用：如果题干问"2021 年比 2019 年增长百分之几"，而材料给的是两年的分项增速，那就是复合，答案是 1.10 × 1.20 − 1 = 32%（不是 30%）。

一套固定的解题动作

① 数清跨了几期：跨 1 期 ⇒ 普通题（基期量计算）；跨 2 期 ⇒ 本篇
② 写出复合倍数：(1 + r₁) × (1 + r₂) ……（按时间顺序乘，顺序不影响结果，但要写全）
③ 隔期基期 = 现期 ÷ 复合倍数
④ 隔期增长量 = 现期 − 隔期基期
⑤ 验算：隔期基期 × 隔期增长率 是否等于算出的增长量
⑥ 用简单分数化简乘法链，别硬乘小数

第 ⑤ 步是这一章的"安全网" —— 它同时检查了复合倍数和基期两次计算。

练习

第 1 题｜某地某指标 2020 年比 2019 年增长 10%，2021 年比 2020 年增长 20%，2021 年为 1320 万吨。求 2021 年比 2019 年增加多少万吨。

第 2 题｜某市 2023 年快递业务量 27 亿件，比 2022 年增长 25%；2022 年比 2021 年增长 20%。求 2023 年比 2021 年增加了多少亿件。

第 3 题｜判断："隔期增长量 = 中间两年的增长量分别算出来再相加。"这句话对不对？

第 4 题｜某地 2021 年、2022 年、2023 年某指标同比增速依次为 10%、20%、25%，2023 年为 1650 万吨。求 2023 年比 2020 年增加多少万吨。

第 5 题｜某企业 2024 年营业收入 1440 万元，比 2022 年增长 44%（即 2023 年比 2022 年增长 20%，2024 年比 2023 年增长 20%）。求 2022 年营业收入与 2024 年比 2022 年增加的金额。

参考答案

第 1 题

复合倍数 = 1.10 × 1.20 = 1.32
2019 年 = 1320 ÷ 1.32 = 1000 万吨
增加量 = 1320 − 1000 = 320 万吨

第 2 题

复合倍数 = 1.25 × 1.20 = 1.50
2021 年 = 27 ÷ 1.50 = 18 亿件
增加量 = 27 − 18 = 9 亿件
验算：18 → 21.6 → 27，增量 3.6 + 5.4 = 9 ✓

第 3 题

结果相等，但做法不可行。

数学上：

两期增长量之和 = (B − A) + (C − B) = C − A = 隔期增长量

确实相等。 但材料只给增速、不给中间值，所以"中间一年的增长量"根本算不出来：

中间一年的增量 = 中间那一年的基期 × 增速
而中间那一年的基期需要更早一年的数据 —— 材料没给

⇒ 必须走"先复合"的路。 相等是结果的性质，不是可用的算法。

第 4 题

复合倍数 = 1.10 × 1.20 × 1.25
用分数化简：(11/10) × (6/5) × (5/4) = 66/40 = 1.65
2020 年 = 1650 ÷ 1.65 = 1000 万吨
增加量 = 1650 − 1000 = 650 万吨
验算：1000 →1100 →1320 →1650，增量 100+220+330 = 650 ✓

第 5 题

复合倍数 = 1.20 × 1.20 = 1.44
2022 年 = 1440 ÷ 1.44 = 1000 万元
增加量 = 1440 − 1000 = 440 万元
验算：1000 →1200 →1440，增量 200 + 240 = 440 ✓

顺带一算：44% 这个数字正是复合增长率 1.20 × 1.20 − 1 = 44% —— 材料直接给"增长 44%"，就是在提示你去复合。