先看一道题，猜哪边快
甲的算法：4260 ÷ 1.05 = ？
乙的算法：4260 × 0.95 = ？乙明显快 —— 乘 0.95 就是"先减 5%"：4260 − 4260÷20 = 4260 − 213 = 4047，两步口算。
甲要老老实实做一次除法，怎么截位都得多想几秒。
问题来了：这两个答案一样吗？
精确值：4260 ÷ 1.05 = 4057.14
乙的答案：4047
差了约 0.25%不一样，但很接近。 这 0.25% 的差距，就是本篇要讲清的全部内容：这条近路什么时候能走、什么时候会摔。
结论先给你：
除以 (1+r) ≈ 乘以 (1−r)，代价是结果偏小约 r²。
r 越小这条近路越平；r 超过 10%，路面就开始打滑。
为什么能换：三行推导
不许只记结论，推导给你：
用二项式展开：
1/(1+r) = 1 − r + r² − r³ + …
r 很小的时候，r² 往后的项都 tiny，砍掉：
1/(1+r) ≈ 1 − r
两边同乘 A：
A/(1+r) ≈ A × (1−r)误差到底多大？ 砍掉的正是 r² 那一项：
真实差 = 1/(1+r) − (1−r) = r²/(1+r) ≈ r²拿 r = 5% 验证：r² = 0.0025 = 0.25% —— 跟开头那道题的 0.25% 完全对上。
所以误差表可以直接背：
| r（增速） | 误差 ≈ r² | 意思是 |
|---|---|---|
| 2% | 0.04% | 完全无感 |
| 5% | 0.25% | 基本无感 |
| 8% | 0.64% | 还行，但要知道自己在估 |
| 10% | 1% | 边界，选项差距小于 1% 就别走这条近路 |
| 20% | 4% | 摔了 —— 误差比选项差距还大 |
注意方向：1 − r 小于 1/(1+r)（因为砍掉的是正项 r²），所以：
用 A×(1−r) 代替 A/(1+r)，结果一律偏小，偏小约 r²。
知道方向就有救 —— 算出来发现两个选项都像，选偏大的那个（第 9 篇《误差修正：什么时候必须停下来算准》讲过方向的作用，这里正好用上）。
方向还有一个反向用法：如果题目问的是"以下哪个不可能是基期"，偏小约 r² 的方向感帮你判断估算值落在真值的哪一侧 —— 真值永远在估算值的上方一点点（正增长情形）。估算 4412，真值就是 4421 这一带，绝不会是 4390。方向感把"一个近似数"变成"一个带符号的区间"，这是它比"只算个大概"值钱的地方。
刹车片一：r 的上限
这条近路不是随时能上的。 刹车标准很简单：