同一道乘法，两个人差了 10 倍

某地区人口 1238 万人，人均 GDP 4.7 万元。GDP 总量约多少亿元？

甲写：1238 × 4.7 = 5818.6

乙写：1238 × 0.47 = 582

差了整 10 倍。

乙不是不会算 —— 他乘法算得没错，错在把 4.7 看成了 0.47。一个照抄时的疏忽，结果差了 10 倍。

这个错误在除法里很少见，在乘法里很常见。 原因下一节说。

先记住这一篇要解决的两件事：

  1. 量级（是 5818 还是 582）—— 比精度重要
  2. 误差（估出 6000 算不算离谱）—— 前六篇没细讲的那件事

乘法跟除法的脾气，正好相反

前六篇几乎都在处理除法。乘法跟它们不一样，而且关键区别只有一条：

除法里，分子分母同向截取，误差会互相抵消一部分。

乘法里，两个数同向截取，误差会叠加。

看数字：

真值：1238 × 4.7 = 5818.6

两个数都截大：1240 × 5 = 6200      偏大 +6.6%
两个数都截小：1200 × 4 = 4800      偏小 -17.5%

注意第二个：1200 × 4 = 4800 —— 偏了 17.5%，远超任何选择题的选项间距。这个估算废了。

为什么会这么惨？ 因为 4.7 → 4 是一个很大的相对变化（-14.9%），1200 → 又是 -3.1%，两个叠加就接近 -17.5% 了。

除法则相反：分子截小、分母截大，一个让结果变小、另一个也让结果变小 —— 它们方向相反的部分会抵掉一些（第 3 篇讲过）。

所以乘法的第一原则是：

别让两个数往同一个方向截。

这就是下面"进出搭配"那一节的由来 —— 它是乘法专属的技巧。

再补一句量级的事：乘法不能靠小数位判断量级。除法里 A÷B 的数量级和 A 差不多（B 接近 1 时）；乘法里两个数一乘，位数直接翻倍，很容易看错位。

一个防错动作（只要 1 秒）：

1238（四位数）× 4.7（一位整数）⇒ 结果应该是 4~5 位数
算完先看位数对不对 —— 5818 是四位数 ✅ / 582 是三位数 ❌

这个动作能拦住上面那个 10 倍错误。

口算的地基：两位数乘两位数

乘法速算的前提是两位数乘两位数能口算。这一项练不出来，后面的技巧都是空中楼阁。

方法是拆位（把其中一个数拆成整十 + 个位）：

47 × 83
= 47 × 80 + 47 × 3        ← 拆 83
= 3760 + 141
= 3901

为什么这么拆？ 因为 47 × 80 只是"47 × 8 后面补个零"，而 47 × 8 是个位数乘法。整个计算只有两步简单运算。

练到什么程度算合格？ 10 秒内出结果。给你三个自己试：

36 × 72 = ?        （36×70 = 2520，36×2 = 72 ⇒ 2592）
58 × 43 = ?        （58×40 = 2320，58×3 = 174 ⇒ 2494）
91 × 67 = ?        （91×60 = 5460，91×7 = 637 ⇒ 6097）

如果你现在算这三个要 40 秒以上，先别学后面的技巧 —— 每天练 10 组，一周就能到 10 秒。

保留几位：还是看选项

这条规则从第 1 篇（速算总论）就一直跟着我们：精度由选项差距决定，不由习惯决定。

选项差距乘法保留几位例子
首位不同（如 5000 / 8000 / 12000）2 位1200 × 5 = 6000，够了
首位相同、次位不同（5800 / 6100 / 6400）3 位1240 × 4.7 = 5828
前两位相同别用估算，精算——

同一个例子，两档精度的结果对比：

真值：1238 × 4.7 = 5818.6

保留 2 位：1200 × 5 = 6000        误差 +3.1%  ⇒ 只能区分"差得远"的选项
保留 3 位：1240 × 4.7 = 5828      误差 +0.16% ⇒ 能区分"差一点"的选项

注意差了 20 倍（3.1% 对 0.16%）。保留到三位，多花的时间很少（就是把 1238 看成 1240），但精度提升一个量级。

所以乘法的默认档是"保留三位" —— 因为多截一位的代价比除法小得多（除法多一位要动竖式，乘法多一位只是多看一个数字）。

进出搭配：一个舍、一个进

这是乘法专属的技巧，也是本篇最值钱的一句话：

两个数相乘时，让一个数"进"（截大），另一个数"舍"（截小）—— 误差就会互相抵消。

对比着看最清楚：

真值：3876 × 0.237 = 918.6

【都进】3900 × 0.24 = 936        误差 +1.9%
【都舍】3800 × 0.23 = 874        误差 -4.9%
【一舍一进】3800 × 0.24 = 912    误差 -0.7%   ← 最好

为什么"一舍一进"好？

3876 → 3800：舍了，让结果偏小 1.96%
0.237 → 0.24：进了，让结果偏大 1.27%
两者方向相反 ⇒ 净偏差只有 -0.7%

具体怎么操作？ 记住这个动作顺序：

第 1 步：看两个数各自"四舍五入"会往哪边去
第 2 步：如果两个都要"进" → 把其中一个改成"舍"
第 3 步：如果两个都要"舍" → 把其中一个改成"进"

⚠️ 一个限制：改动不要超过一位有效数字。比如 3876 可以调成 3800 或 3900，但不要调成 4000（那是改了两位数，误差反而变大）。

还有一句实话：进出搭配在两个数都是三四位的时候效果最明显；如果两个数本来就短（比如 47 × 83），直接算就行，不用配。

大数尽量少动

最后一条原则，跟上面那条配合用：

两个数里，尽量不动"大的那个"（位数多的），去动小的那个。

为什么？ 因为截位造成的绝对误差跟数的位数有关：

1238 动到 1200：绝对差了 38
4.7 动到 5：绝对差了 0.3

但看相对误差：
1238 → 1200：-3.1%
4.7 → 5：+6.4%   ← 小的那个，相对误差反而大

所以"动小的那个"不等于"误差小" —— 这一条要跟"进出搭配"一起看，不能单独用。

真正的判断标准是：谁的相对变化更小，就动谁；要抵消误差时，才去动那个相对变化大的。

用一句话总结这一节和上一节的关系：

能不动就不动；非动不可时，动一个、让另一个往相反方向配。

三条原则的完整执行顺序：

顺序动作目的
1先看选项，定保留几位定精度
2尽量只动一个数（把另一个补成整数）减少误差源
3必须动两个时，一进一舍让误差抵消

填空题：五道乘法，估一估

要求：先写出你保留了几位，再写估算结果。 别用计算器。

第 1 题

某市常住人口 874 万人，人均可支配收入 3.6 万元。全市总收入约多少亿元？

（选项：2800 / 3000 / 3150 / 3400）

第 2 题

某企业年营收 4265 万元，其中海外部分占 18.3%。海外营收约多少万元？

（选项：680 / 780 / 880 / 980）

第 3 题

某地快递业务量 63.8 亿件，同比增长 21.7%。增长量约多少亿件？

（提示：增长量 = 现期 × r ÷ (1+r)，本题先用"现期 × r"估一估）

第 4 题

某地区耕地面积 1287 万公顷，平均单产 5.9 吨/公顷。总产量约多少万吨？

第 5 题（这题要小心量级）

某国 GDP 为 17.7 万亿美元，人口 3.34 亿。人均 GDP 约多少万美元？

（提示：这道题是除法，但答案要用"万美元"—— 想一想 17.7 万亿 ÷ 3.34 亿 的量级）

五道填完，把"你保留了几位"写下来，再翻下一节。

参考答案与误差对照

第 1 题 · 约 3150 亿元

874 × 3.6
保留三位：874 × 3.6（两个数都已经够短）⇒ 拆位算
874 × 3.6 = 874 × 3 + 874 × 0.6 = 2622 + 524.4 = 3146.4

真值：874 × 3.6 = 3146.4 ✅ 误差 0

这道题不需要估 —— 两个数都短（三位 × 两位），直接拆位算就行。

如果你保留了两位：870 × 4 = 3480，误差 +10.6% —— 会选到 3400 那个错项。

这道题的教训："保留几位"是下限，不是上限。数字本身就好算时，没必要故意截。

第 2 题 · 约 780 万元

4265 × 18.3%

真值：4265 × 0.183 = 780.5

估法（进出搭配）：

4265 → 4300（进，+0.8%）
18.3% → 18%（舍，-1.6%）
4300 × 0.18 = 774      误差 -0.8%   ✅

如果两个都进：4300 × 19% = 817，误差 +4.7% —— 817 落在 780 和 880 中间偏下，还是能选对（最近的是 780）。

如果两个都舍：4200 × 0.18 = 756，误差 -3.1% —— 也能选对。

这道题的选项间距够大（780 → 880 差 12.8%），所以怎么估都不会错。 但下一题就不是了。

第 3 题 · 约 11.4 亿件（现期 × r ÷ (1+r)）

63.8 × 21.7%

保留两位：64 × 0.22 = 14.08
保留三位：63.8 × 0.217 = 13.84

真值（现期 × r）：63.8 × 0.217 = 13.84 亿件

⚠️ 但这不是最终答案！ 增长量的公式是 现期 × r ÷ (1+r)：

13.84 ÷ 1.217 ≈ 11.38 亿件

这道题的设计意图：它是"乘法 + 除法"的复合题。先乘、再除是最常见的两步结构（增长率类的题几乎都是这样）。

所以遇到复合题时的顺序是：先用本篇的方法搞定乘法，再用第 2、3 篇的方法搞定除法 —— 但注意，第二次的精度要求跟第一次一样（别第一步估得太粗，第二步就救不回来了）。

第 4 题 · 约 7593 万吨

1287 × 5.9
真值：1287 × 5.9 = 7593.3

保留三位：1290 × 5.9 = 7611      误差 +0.23%

注意这里我"动了大的那个"（1287 → 1290），因为小的那个 5.9 只有两位，动它反而误差大（5.9 → 6 是 +1.7%，而 1287 → 1290 只有 +0.23%）。

所以"大数少动"不是死规矩 —— 判断标准始终是谁的相对变化更小。5.9 已经够短了，动它反而更亏。

第 5 题 · 约 5.3 万美元

17.7 万亿 ÷ 3.34 亿

先统一单位：
17.7 万亿美元 = 177000 亿美元
3.34 亿人 = 33400 万人

177000 ÷ 33400 ≈ 5.3（万美元）

或者用更快的量级判断：

17.7 ÷ 3.34 ≈ 5.3，而"万亿 ÷ 亿 = 万"
⇒ 答案约 5.3 万美元

这道题的量级判断是关键：万亿 ÷ 亿 = 万 —— 你要是忘了这一步，会在 5.3、53、530 之间犹豫。

记住这个单位换算链：

万 ÷ 万 = 倍
亿 ÷ 万 = 万
万亿 ÷ 亿 = 万

五道题的结论汇总

题号答案关键点
13146数短就别估，直接算
2780进出搭配（一进一舍）
311.37复合题：先乘后除，两步都要保精度
47593"大数少动"不是死规矩，看谁相对变化小
55.3量级：万亿 ÷ 亿 = 万

这一篇的一句话总结：

乘法里，量级比精度重要，搭配比努力重要 —— 先防差 10 倍，再谈省几秒。